Question

如图，在中，．以AB为直径作圆⊙O交AC于点D，点E为⊙O上的一点，连接ED并延长与BC的延长线交于点F．连接AE、BE，∠BAE=60°，∠F=15°，解答下列问题．

（1）求证：直线FB是⊙O的切线；

（2）若BE=cm，求AC的长．

Answer

（1）证明见解析．（2）AC=cm．

【解析】

试题分析：（1）欲证明直线FB是⊙O的切线，只需证明AB⊥FB；

（2）通过解直角△AEB求得AB的长度；然后在等腰直角△ABC中，根据勾股定理来求斜边AC的长度即

试题解析：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB=90°．

∵∠BAE=60°，

∴∠ABE=30°，

∴∠ADE=∠ABE=30°，

∴∠FDC=∠ADE=30°．

∵∠F=15°，

∴∠ACB=∠F+∠FDC=45°．

又∵在△ABC中，AB=BC，

∴∠ACB=∠CAB=45°，

∴∠ABC=90°，即AB⊥FB．

又∵AB是直径，

∴直线FB是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵在直角△AEB中，BE=cm，∠BAE=60°，

∴AB=（cm）．

∴在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，AB=2cm，则AC=cm．

考点：切线的判定．