Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点B坐标为（6，n）．线段OA=5，E为x轴上一点，且sin∠AOE= ．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）求△AOC的面积．

（3）直接写出时的x取值范围．

Answer

（1）反比例函数解析式为y=-；一次函数解析式为：；（2）6；（3）x＜-3或0＜x＜6．

【解析】

试题分析：（1）作AD⊥x轴于D，在Rt△AOD中，利用正弦的定义可计算出AD=4，再利用勾股定理计算出OD=3，则A点坐标为（-3，4），然后把A点坐标代入可计算出m=-12，从而得到反比例函数解析式为y=-；再利用反比例函数解析式确定B点坐标为（6，-2），然后利用待定系数法求一次函数解析式；

（2）先确定C点坐标为（3，0），然后根据三角形面积公式计算△AOC的面积；

（3）观察函数图象得到当x＜-3或0＜x＜6时，一次函数图象都在反比例函数图象上方，即有kx+b＞．

试题解析：（1）作AD⊥x轴于D，如图，

在Rt△AOD中，OA=5，

∴sin∠AOD=，

∴AD=4，

∴OD=

∴A点坐标为（-3，4），

把A（-3，4）代入y=得m=-3×4=-12，

∴反比例函数解析式为y=-；

把B（6，n）代入y=-得6n=-12，解得n=-2，

∴B点坐标为（6，-2），

把A（-3，4）、B（6，-2）代入y=kx+b得

，

解得，

∴一次函数解析式为：；

（2）把y=0代入，得

解得x=3，

∴C点坐标为（3，0），

∴△AOC的面积=×3×4=6；

（3）当x＜-3或0＜x＜6时，kx+b＞．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题．