Question

如图，抛物线y=﹣（x﹣1）²+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．

（1）求点B，C的坐标；

（2）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

Answer

（1）B（3，0）．C（0，3）；（2）S=

【解析】

试题分析：（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B，C的坐标；

（2）△COB沿x轴向右平移过程中，分两个阶段：

（I）当0＜t≤时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；

（II）当＜t＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形．

试题解析：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=-（x-1）2+c上，

∴0=-（-1-1）2+c，得c=4，

∴抛物线解析式为：y=-（x-1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=-1或x=3，∴B（3，0）．

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴，

解得k=-1，b=3，

∴y=-x+3，

直线QE是直线BC向右平移t个单位得到，

∴直线QE的解析式为：y=-（x-t）+3=-x+3+t；

设直线BD的解析式为y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴，

解得：m=-2，n=6，

∴y=-2x+6．

连接CQ并延长，射线CQ交BD于点G，则G（，3）．

在△COB向右平移的过程中：

（I）当0＜t≤时，如图1所示：

设PQ与BC交于点K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3-t．

设QE与BD的交点为F，则：

，

解得

∴F（3-t，2t）．

S=S△QPE-S△PBK-S△FBE=PE•PQ-PB•PK-BE•yF=×3×3-（3-t）2-t•2t=-t2+3t；

（II）当＜t＜3时，如图2所示：

设PQ分别与BC、BD交于点K、点J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3-t．

直线BD解析式为y=-2x+6，令x=t，得y=6-2t，

∴J（t，6-2t）．

S=S△PBJ-S△PBK=PB•PJ-PB•PK=（3-t）（6-2t）-（3-t）2=t2-3t+．

综上所述，S与t的函数关系式为：

S=

考点：二次函数综合题．