Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求证：AE是⊙O的切线

（2）当BC=4时，求劣弧AC的长

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；

（2）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．

试题解析：（1）∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°．

∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（2）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为．

考点：1．切线的判定；2．圆周角定理；3．弧长的计算．