Question

（本题10分）准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形， AB＝2，求菱形BFDE的面积．

Answer

见解析．

【解析】

试题分析：根据矩形的性质可得∠ABD=∠CDB，根据折叠可得∠EBD=∠FDB，则BE∥DF，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形进行证明；根据菱形可得BE=DE，有折叠可得BM=AB=2，则DM=BM=2，BD=4，根据勾股定理可得AD=2，设DE=x，则AE=2－x，BE=x，根据Rt△ABE的勾股定理得出x的值，然后计算菱形的面积．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形 ∴ AB∥CD AD∥BC ∴∠ABD=∠CDB

由折叠知：∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠CDB ∴∠EBD=∠FDB ∴BE//DF

∴四边形BFDE是平行四边形

（2）∵四边形BFDE是菱形 ∴ BE=DE 由折叠知：∠EMB=∠A=90°BM=AB=2

∴DM=BM=2 ∴BD=4 由勾股定理解得AD=2 设DE=x，则AE=2―x，BE=x

在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2 （2―x）2+22=x2 解得：x=

∴菱形BFDE的面积为×2=

考点：平行四边形的判定、勾股定理、菱形的面积计算．