Question

（本题10分）如图1，梯形ABCD中AB∥CD，且AB=2CD，点P为BD的中点，直线AP交BC于E，交DC的延长线于F．

（1）求证：DC=CF；

（2）求的值；

（3）如图2，连接DE，若AD⊥ED，求证：BAE=DBE．

Answer

（1）证明详见解析；（2）3；（3）证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据条件可以得到△ABP≌△FPD，由全等三角形的性质就可以得出结论；

（2）由CF∥AB，得到AE=2EF，又由（1）得AP=PF，进而AP=3PE，即可得到AP与PE的比值；

（3）延长AD交BC的延长线于M，证明△EBP≌△EFC，应用全等三角形的性质得到等角．

试题解析：（1）由AB∥CD得∠BAP=∠DFP，又BP=PD，∠APB=∠FPD，∴△ABP≌△FPD，∴AB=DF，即2DC=DC+CF，∴DC=CF；

（或由AB∥CD，∴△PAB∽△PFD，∴=1，即AB=DF）

（2）由CF∥AB，∴=2，∴AE=2EF，又由（1）得AP=PF，

∴AP+PE=2（PF-PE）=2（AP-PE），∴AP=3PE，∴=3；

（3）延长AD交BC的延长线于M，则由CD∥AB，且AB=2CD，可得AD=DM，BC=CM，又已知ED⊥AD，∴ED为AM的中垂线，AE=EM，可设EC=m，由（2）中，则BE=2m，CM=BC=3m，∴AE=EM=4m，∴AP=3m，EF=2m，∴△EBP≌△EFC，∴∠PBE=∠F=∠BAE．

（或可设EC=m，由（2）中，则BE=2m，CM=BC=3m，∴AE=EM=4m，∴AP=3m，EP=m，即EB2=EP·EA,∴△EBP∽△EAB，∴∠PBE =∠BAE）

考点：全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质．