Question

（本题12分）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax²+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）求a，b的值；（3分）

（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（4分）

（3）如图（3），将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C, 点P为线段OA上的一个动点（与点O、点A不重合），以点O为圆心、以OP为半径的圆弧与线段OC交于点M，以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点N，连接MN．在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．（5分）

Answer

（1）a=﹣1，b=4；（2）d=4t；（3）四边形OMNB的面积有最小值，最小值为3．

【解析】

试题分析：（1）利用已知得出A，B点坐标，进而利用待定系数法得a，b的值；

（2）已知MN=d，PF=t，由图可知MN=MF+FN，不妨将MF和FN用PF代替，即可得到MN与PF的关系，利用45°的直角三角形和平行线性质可推得FN=PF=t，∠MPF=∠BOD，再利用tan∠BOD=tan∠MPF，得==3，从而有MF=3PF=3t，从而得出d与t的函数关系；

（3）设OP=m，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM，再证△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，AB=BC=4，过M作MF⊥AC,垂足为F,则MF=MC•sin60º=，分别表示△OAC和△MNC的面积，然后求面积的差得到四边形OMNB的面积为S，根据关系式求最值．

试题解析：【解析】
（1）∵y=﹣x+4与x轴交于点A，∴A（4，0），

∵点B的横坐标为1，且直线y=﹣x+4经过点B，∴B（1，3），

∵抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3），

∴，解得：，∴a=﹣1，b=4；

（2）如图，作BD⊥x轴于点D，延长MP交x轴于点E，

∵B（1，3），A（4，0），∴OD=1，BD=3，OA=4，

∴AD=3，∴AD=BD，

∵∠BDA=90°，∠BAD=∠ABD=45°，

∵MC⊥x轴，∴∠ANC=∠BAD=45°，

∴∠PNF=∠ANC=45°，∵PF⊥MC，∴∠FPN=∠PNF=45°，

∴NF=PF=t，

∵∠DFM=∠ECM=90°，∴PF∥EC，

∴∠MPF=∠MEC，∵ME∥OB，∴∠MEC=∠BOD，

∴∠MPF=∠BOD，∴tan∠BOD=tan∠MPF，∴==3，

∴MF=3PF=3t，∵MN=MF+FN，∴d=3t+t=4t；

（3）四边形OMNB的面积有最小值．

设OP=m，四边形OMNB的面积为S，先连接ON、AM，

再证△OAN≌△ACM（SAS），可知CM＝AN＝AP，

AB=BC=4， S△ABC=×42=，∴CM=AN= AP=4－m，CN=OP=m，

过M作MF⊥AC,垂足为F,

则MF=MC•sin60º=，

∴S△CMN==•=，

∴S=S△OAC－S△CMN

=－（）

=，

∴在点P运动的过程中，四边形OMNA的面积有最小值为3．

考点：二次函数综合题；相似三角形的判定和性质；勾股定理．