Question

（本题8分）如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．

（1）求证：PB是⊙O的切线；（4分）

（2）设∠AOQ=，若，OQ= 15，求AB的长．（4分）

Answer

（1）证明详见解析．（2）．

【解析】

试题分析：（1）连接OP，通过证明△APO≌△BPO，即可得到∠PBO=∠PAO=90°，根据圆的切线的判定即可得到PB是⊙O的切线；

（2）通过证明△QPB∽QOA，∠BPQ=∠AOQ=，得到tan∠BPQ==，求得PB=36，PO=12，根据面积公式得到AB·PO=OB·BP，求得AB的长．

试题解析：（1）证明：如图，连结OP，

∵PA=PB，AO=BO，PO=PO ，∴△APO≌△BPO（SSS），∴∠PBO=∠PAO=90°，

∴PB是⊙O的切线；

（2）cos==，∴AO=12，

∵易证△QPB∽QOA，∠BPQ=∠AOQ=，

∴tan∠BPQ==，∴PB=36，PO=12，

∵AB·PO=OB·BP，∴AB=．

考点：切线的判定；相似三角形的判定和性质；全等三角形的判定和性质．