Question

（本题8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．

（1）求证：BE＝CE；（4分）

（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，如图2，∠BAC＝45°，求证：△AEF≌△BCF．（4分）

Answer

证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）由已知和等腰三角形的性质可得AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，即可得到△ABE≌△ACE，应用全等三角形的性质可得BE＝CE；

（2）由已知证得AF＝BF，由（1）得∠EAF＝∠CBF，再有∠AFE＝∠BFC＝90°，即可证得△AEF≌△BCF．

试题解析：证明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中点，∴∠BAE＝∠CAE．

在△ABE和△ACE中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAE，AE＝AE，

∴△ABE≌△ACE．∴BE＝CE．（运用垂直平分线的性质说明也可）

（2）∵∠BAC＝45°，BF⊥AF，∴△ABF为等腰直角三角形．∴AF＝BF．由（1）知AD⊥BC，∴∠EAF＝∠CBF．

在△AEF和△BCF中，AF＝BF，∠AFE＝∠BFC＝90°，∠EAF＝∠CBF，

∴△AEF≌△BCF．

考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定和性质．