Question

（8分）如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．

（1）求证：OP=OQ；

（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形PBQD是菱形．

Answer

（1）证明详见解析；（2）PD=8-t ；t=s．

【解析】

试题分析：（1）先根据四边形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根据O为BD的中点得出△POD≌△QOB，即可证得OP=OQ；

（2）根据已知条件得出∠A的度数，再根据AD=8cm，AB=6cm，得出BD和OD的长，再根据四边形PBQD是菱形时，利用勾股定理即可求出t的值，判断出四边形PBQD是菱形．

试题解析：（1）证明：因为四边形ABCD是矩形，

所以AD∥BC，

所以∠PDO=∠QBO，

又因为O为BD的中点，

所以OB=OD，

在△POD与△QOB中，

∠PDO=∠QBO，OB=OD，∠POD=∠QOB，

所以△POD≌△QOB，

所以OP=OQ．

（2）【解析】
PD=8-t，

因为四边形PBQD是菱形，

所以PD=BP=8-t，

因为四边形ABCD是矩形，

所以∠A=90°，

在Rt△ABP中，

由勾股定理得： ，

即 ，

解得：t= ，

即运动时间为秒时，四边形PBQD是菱形．

考点：矩形的性质；菱形的性质；全等三角形的判断和性质勾股定理．