Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，O为BC中点，如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，设AM的长为x，CN的长为y，且x、y满足等式（a＞0）

（1）求证：BM=AN；

（2）请你判断△OMN的形状，并证明你的结论；

（3）求证：当OM∥AC时，无论a取何正数，△OMN与△ABC面积的比总是定值．

Answer

（1）证明见解析；（2）△OMN是等腰直角三角形，证明见解析；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由等式可得出x=y=a，结合等腰直角三角形的性质，即可证得；

（2）作OE⊥AC，OF⊥AB，通过证明△OFM≌△OEN，可得OM=ON，根据全等三角形的性质，只要证得∠MON=90°，即可证得；

（3）当OM∥AC时，OM、ON是等腰Rt△ABC的中位线，由三角形的面积计算公式，表示出三角形的面积，比较出其比值即可；

试题解析：（1）∵∠A=90°，∠B=45°，

∴∠C=45°，从而AB=AC；

由等式（a＞0），知x=y=a，AM=CN=a，

∴BM=AB－AM=AC－CN=AN

（2）△OMN是等腰直角三角形。证明如下：

连AO，

∵AB=AC，O为BC中点，

∴∠BAO=∠CAO=90°÷2=45°且AO⊥BC；

∵∠B=∠C=45°，

∴AO=BO=CO；

又BM=AN，

∴△BMO≌△ANO（SAS），

∴OM=ON，∠BOM=∠AON，

∴∠MON=∠AON＋∠MOA=∠BOM＋∠MOA=90°，即MO⊥NO，

故△OMN是等腰直角三角形

（3）当OM∥AC时，知∠BOM=∠A=90°，

由于∠B=45°，

∴△BMO是等腰直角三角形，从而∠BOM=45°；

∵∠MON=90°，

∴∠CON=45°，

又∠C=45°，

∴∠ONC=90°，

∵OM=ON，OB=OC，

∴且△BMO和△CNO是全等的等腰直角三角形（HL），

∴BM=MO=NO=NC=a，

由（1）知AN=BM=a，

∴AC=AB=2a，

∴△OMN与△ABC面积的比=a2：（2a）2=，

故结论成立

考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．