Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M。请探究：

（1）如图（１），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。

（2）如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（１）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；

（3）如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝２BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。

Answer

（1）DM=EM．理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）MD=ME．

【解析】

试题分析：（1）DM=EM；过点E作EF∥AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

（2）成立；过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；

（3）MD=ME．过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；

试题解析：（1）DM=EM；（1分）

证明：过点E作EF∥AB交BC于点F，（2分）

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

，

∴△DBM≌△EFM，

∴DM=EM．

（2）成立；

证明：过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C；

又∵EF∥AB，

∴∠ABC=∠EFC，

∴∠EFC=∠C，

∴EF=EC．

又∵BD=EC，

∴EF=BD．

又∵EF∥AB，

∴∠ADM=∠MEF．

在△DBM和△EFM中

∴△DBM≌△EFM；

∴DM=EM；

（3）过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，

∴△DBM∽△EFM，

∴BD：EF=DM：ME，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠F=∠ABC，

∴∠F=∠C，

∴EF=EC，

∴BD：EC=DM：ME=1：2，

∴MD=ME．

考点：全等三角形的判定与性质．