Question

如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=-x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．

（1）若直线AB与有两个交点F、G．

①求∠CFE的度数；

②用含b的代数式表示FG²，并直接写出b的取值范围；

（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）45°; FG2=64×（1-）（4≤b＜5）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，

（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，

（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出点P的坐标，再求出OP所在的直线解析式．

试题解析：（1）①如图1，

∵∠COE=90°

∴∠CFE=∠COE=45°;

如图2，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=-x+b，

∴OM所在的直线函数式为：y=x，

∴交点M（，）

∴OM2=（）2+（）2，

∵OF=4，

∴FM2=OF2-OM2=42-（）2-（）2，

∵FM=FG，

∴FG2=4FM2=4×[42-（）2-（）2]=64-=64×（1-），

∵直线AB与有两个交点F、G．

∴4≤b＜5，

∴FG2=64×（1-）（4≤b＜5）

（2）如图，

当b=5时，直线与圆相切，

∵在直角坐标系中，∠COE=90°，

∴∠CPE=∠ODC=45°，

∴存在点P，使∠CPE=45°，

连接OP，

∵P是切点，

∴OP⊥AB，

∴△APO∽△AOB，

∴，

∵OP=r=4，OB=5，AO=，

∴

即AP=，

∵AB==，

作PM⊥AO交AO于点M，设P的坐标为（x，y），

∵△AMP∽△AOB，

∴

∴，

∴y=，

∴x=OM=

∴点P的坐标为（，）．

当b＞5时，直线与圆相离，不存在P点.

考点：圆的综合题．