Question

（14分）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线经过点A和C．

（1）求抛物线的解析式．

（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为，右侧部分图形的面积记为，求与的比．

（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到，点D关于直线的对称点记为，当点正好在抛物线上时，求出此时点坐标并直接写出直线的函数解析式．

Answer

（1） ；（2） S1：S2=23：9；（3） 点D’坐标为（-1，4）或（，）；或．

【解析】

试题分析：（1） A（-2,0），C（2，4），将其代入抛物线 ，求得解析式；

（2）通过证明∆CEF∽∆AOB，得到EF=3，应用三角形面积公式求得与的面积，进而求得与的比；

（3）由∆ABO∽∆DMO，求得OM=7，用待定系数法求得直线DM的解析式，与抛物线解析式联立方程组求解，得到点的坐标，得到直线的解析式．

试题解析：【解析】
（1）∵四边形ABCO为平行四边形，∴BC∥AO，且BC=AO，

由题意知，A（-2,0），C（2，4），将其代入抛物线中，有

，解得，

∴抛物线解析式为；

由（1）知，抛物线对称轴为直线，

设它交BC于点E，交OC于点F，则BE=，CE=．

又∵∠A=∠C，∴∆CEF∽∆AOB，∴，∴EF=3，

∴，

又∵S□ABCD=2×4=8，∴，∴S1：S2=23：9．

如图，设过DD’的直线交x轴于点M，交OC于点P，

∵DM⊥OC，∴∠DOP=∠DMO，

∵AB∥OC，∴∠DOC=∠ABO，∴∆ABO∽∆DMO，∴，∴OM=7，

设直线DM的解析式为，将点D（0，），M（7,0）代入，得

，解得，

∴直线DM的解析式为，

由题意得，解得，，

∴点D’坐标为（-1，4）或（，）．

直线O’C’的解析式为：

（如图1）或（如图2）．

考点：待定系数法求函数解析式；求图象的交点坐标；相似三角形的判定和性质．