Question

（9分）如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠BPC=60°，过点A作⊙O的切线交BP的延长线于点D．

（1）求证：△ADP∽△BDA；

（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若AD=2，PD=1，求线段BC的长．

Answer

（1）证明详见解析；（2） PA+PB=PC，证明详见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先作⊙O的直径AE，连接PE，利用切线的性质以及圆周角定理得出∠PAD=∠PBA进而得出答案；

（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；

（3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的长，进而得出△ADP∽△CAP，则，则AP2=CP•PD求出AP的长，即可得出答案．

试题解析：（1）证明：作⊙O的直径AE，连接PE，

∵AE是⊙O的直径，AD是⊙O的切线，

∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°，

∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA，

∵∠PAD=∠PBA，∠ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA；

（2）PA+PB=PC，

证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，

∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等边三角形，

∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°，

∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC，

在△BPA和△BFC中，，

∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC；

（3）【解析】
∵△ADP∽△BDA，∴==，

∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3，

∵∠APD=180°﹣∠BPA=60°，∴∠APD=∠APC，

∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=，

∴AP2=CP•PD，∴AP2=（3+AP）•1，

解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+．

考点：切线的性质；圆周角定理；全等三角形的判定和性质；相似三角形的判定和性质．