Question

已知：关于x的方程x²﹣（k+2）x+2x=0

（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；

（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer

（1）证明见解析；（2）5．

【解析】

试题分析：（1）整理根的判别式，得到它是非负数即可．

（2）分b=c，b=a两种情况做．

试题解析：证明：（1）∵△=（k+2）2-8k=（k-2）2≥0，

∴方程总有实根；

（2）①当b=c时，则△=0，

即（k-2）2=0，

∴k=2，

方程可化为x2-4x+4=0，

∴x1=x2=2，

而b=c=2，

∴C△ABC=5；

②当b=a=1，

∵x2-（k+2）x+2k=0．

∴（x-2）（x-k）=0，

∴x=2或x=k，

∵另两边b、c恰好是这个方程的两个根，

∴k=1，

∴c=2，

∵a+b=c，

∴不满足三角形三边的关系，舍去；

综上所述，△ABC的周长为5．

考点：1．根的判别式；2．根与系数的关系；3．等腰三角形的性质．