Question

（本题满分11分．为方便答题，可在答卷上画出你认为必要的图形）

如图，已知：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点．

（1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论．

（3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与BC有什么数量关系？请说明理由．

Answer

（1）证明详见解析；（2）四边形EGFH是菱形．证明详见解析；（3）EF⊥BC，且EF=BC，证明详见解析．

【解析】

试题分析：（1）通过证明AE=ED，∠A=∠D， AB=DC，根据全等三角形的判定可以证得△ABE≌△DCE；

由题意可知GF、FH是△EBC的中位线，且EB=EC，所以GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，从而证得四边形EGFH是菱形；

连接EF，证得△BEC是等腰直角三角形，从而得到EF⊥BC，且EF=BC．

试题解析：（1）证明：由题意可得ABCD是等腰梯形，

∴∠A=∠D，

在△ABE和△DCE中，AE=ED，∠A=∠D， AB=DC，

∴△ABE≌△DCE．

（2）四边形EGFH是菱形．

证明：∵GF、FH是△EBC的中位线，且由（1）得EB=EC，

∴GF∥EH，GE∥HF，GF=GE，

∴四边形EGFH是菱形．

（3）EF⊥BC，且EF=BC．

证明：连接EF，∵EFGH是正方形，

∴∠GEH=90°，即△BEC是等腰直角三角形，

∴EF⊥BC，且EF=BC．

考点：全等三角形的判定；三角形的中位线；菱形的判定；正方形的性质．