Question

如图，已知抛物线过（1,4）与（4,-5）两点，且．与一直线相交于A，C两点

（1）求该抛物线解析式；

（2）求A，C两点的坐标；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；

Answer

（1）;（2）A（-1，0）C（2，3）（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式;

（2）联立方程x+1=-x2+2x+3,求解即可．

（3）过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，-x2+2x+3）．根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x2+x+2；最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值；

试题解析：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点（1，4）及C（4，-5）得，

，解得。

∴抛物线的函数关系式为

（2）当x+1=-x2+2x+3时，解得

当x=-1时，

当x=2时，

所以A（-1，0）C（2，3）

（3）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，

设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）．

∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2．

∴==-（x-）2+．

∵，

∴当x=时，△APC的面积取得最大值，最大值为．

考点：二次函数综合题．