Question

如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CEAB于E，CD平分ECB，交过点B的射线于D，交AB于F，且BC=BD．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若AE=9，CE=12，求BF的长．

Answer

（2）BF=10

【解析】

试题分析：（1）根据垂直的定义可得∠CEB=90°，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，判断出∠1=∠D，从而根据平行线的判定得到CE∥BD，根据平行线的性质得∠DBA=∠CEB，由此可根据切线的判定得证结果；

（2）连接AC，由射影定理可得，进而求得EB的长，再由勾股定理求得BD=BC的长，然后由“两角对应相等的两三角形相似”的性质证得△EFC∽△BFD，再由相似三角形的性质得出结果．

试题解析：（1）证明：∵，

∴ ．

∵ CD平分，BC=BD，

∴ ，．

∴ ．

∴ ∥．

∴ ．

∵ AB是⊙O的直径，

∴ BD是⊙O的切线．

（2）连接AC，

∵ AB是⊙O直径，

∴ ．

∵，

可得 ．

∴

在Rt△CEB中，∠CEB=90，由勾股定理得

∴ ．

∵ ，∠EFC =∠BFD，

∴ △EFC∽△BFD．

∴ ．

∴ ．

∴ BF=10．

考点：切线的判定，相似三角形，勾股定理