Question

如图，有一边长为5的正方形ABCD和一等腰PQR，PQ=PR=5，QR=8，点B、Q、C、R在同一直线上，当Q、C两点重合时，等腰PQR以每秒1cm的速度沿直线按箭头所示的方向开始匀速运动，t秒后正方形ABCD和等腰PQR重叠部分的面积为S。

（1）当t=3秒时，PQ与CD相交于点F，点E为QR的中点，连结PE，求证：QCF ∽QEP.

（2）当t=5秒时，求S的值.

（3）当8≤t＜9时，求S关于t的函数表达式.

（4）当9≤t≤13时，求S关于t的函数表达式.

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）；（4）

【解析】

试题分析：（1）根据PE⊥QR，得出FC∥PE，即可证出△QCF∽△QEP；

(2) 当t=5时，Q、B重合，线段PR与CD相交，设PR与CD相交于G，可仿照（1）的方法求得△RCG的面积，从而由△RPQ、△RCG的面积差求得阴影部分的面积．

(3) 当8≤t＜9时，根据QB：QE=（t-5）：4，△QFB∽△QPE，求出S△QFB，再根据S=S△PEQ-S△QFB代入计算；

(4)当9≤t≤13时，根据RB：RE=（13-t）：4，△RFB∽△RPE，求出S△RFB，再根据S=S△RFB把所得结果进行整理即可．

试题解析：（1）如图（1）， PQ=PR，E为QR的中点，

又F为CD与PQ的交点，

CF//PE

QCF ∽QEP.

（2）如图（2），当t=5时，CR=3，设PR与CD相交于G点，

由∽，求得CG=.

，

（3）如图（3），当时，设PQ与AB相交于H，

BQ=t-5，由∽，求得BH=

，

（4）如图（4），当时，设PR与CD相交于M，

BQ=13-t，∽，求得BM=

考点：二次函数的最值．