Question

（本题满分12分）已知，如图，一次函数与x轴、y轴分别交于点A和点B，A点坐标为（3,0），∠OAB=45°．

（1）求一次函数的表达式；

（2）点P是x轴正半轴上一点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰Rt△BPC，连接CA并延长交ｙ轴于点Q．

①若点P的坐标为（4,0）,求点C的坐标，并求出直线AC的函数表达式；

②当P点在x轴正半轴运动时，Q点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请求出它的变化范围．

Answer

（1）；（2）①点C(7,4)；；②点Q的位置不发生变化，点Q的坐标为（0，-3）．

【解析】

试题分析：（1）由∠AOB=90°，∠OAB=45°，可得∠OBA=∠OAB=45°，即OA=OB，由A（3，0），可得B（0，3），代入y=kx+b可得出k，b的值，即可得出一次函数的表达式；

（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，易证△BOP≌△PDC，进而得出点P，C的坐标，把点A，C的坐标代入y=k1x+b1求解即可；

②由△BOP≌△PDC，可得PD=BO，CD=PO，由线段关系进而得出OA=OB，得出AD=CD，由角的关系可得△AOQ是等腰直角三角形，可得出OQ=OA，即可得出点Q的坐标．

试题解析：【解析】
（1）∵∠AOB=90°，∠OAB=45°，

∴∠OBA=∠OAB=45°，

∴OA=OB，

∵A(3，0)，

∴B(0，3)，

∴，解得，

∴；

（2）①过点C作x轴的垂线，垂足为D，

∵∠BPO+∠CPD=∠PCD+∠CPD=90°，

∴∠BPO=∠PCD，

在△BOP和 △PDC 中，

，

∴ △BOP≌ △PDC（AAS）．

∴PD=BO=3，CD=PO，

∵P(4，0)，

∴CD=PO=4, 则OD=3+4=7，

∴ 点C(7,4)，

设直线AC的函数关系式为，

则，解得，

∴直线AC的函数关系式为；

②点Q的位置不发生变化．

理由：由①知 △BOP≌ △PDC，

当P点在x轴正半轴运动时，仍有△BOP≌ △PDC，

∴PD=BO，CD=PO，

∴PO+PD=CD+OB，

即OA+AD=OB+CD，

又∵OA=OB，

∴AD=CD，

∴∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠QAO=45°，

∴OQ=OA=3，

即点Q的坐标为（0，-3）．

考点：待定系数法求一次函数解析式；全等三角形的判定和性质．