Question

对于二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4，把y=t（x²-3x+2）+（1-t）（-2x+4）称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．

现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（-1，n），请完成下列任务：

【尝试】

（1）当t=2时，抛物线E的顶点坐标是         .

（2）点A    抛物线E上；（填“在”或“不在”）

（3）n=         .．

【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，这个定点的坐标是         .

【应用1】二次函数y=-3x²+5x+2是二次函数y=x²-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由．

【应用2】以AB为一边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过点A、B、C，求出所有符合条件的t的值．

Answer

（1，-2）．点A（2，0）在抛物线E上．6．抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”． 所有t的值为：-；，-，．

【解析】

试题分析：【尝试】

（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；

（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；

（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值．

【发现】

将抛物线E展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标．

【应用1】

将【发现】中得到的两个定点坐标代入二次函数y=-3x2+5x+2中进行验证即可．

【应用2】

该题的关键是求出C、D的坐标；首先画出相应的图形，过C、D作坐标轴的垂线，通过构建相似三角形或全等三角形来求解．在求得C、D的坐标后，已知抛物线E必过A、B，因此只需将C或D的坐标代入抛物线E的解析式中，即可求出符合条件的t值．

试题解析：【解析】
【尝试】

（1）将t=2代入抛物线E中，得：y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=2x2-4x=2（x-1）2-2，

∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，-2）．

（2）将x=2代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），得 y=0，

∴点A（2，0）在抛物线E上．

（3）将x=-1代入抛物线E的解析式中，得：

n=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=6．

【发现】

将抛物线E的解析式展开，得：

y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4）=t（x-2）（x+1）-2x+4

∴抛物线E必过定点（2，0）、（-1，6）．

【应用1】

将x=2代入y=-3x2+5x+2，y=0，即点A在抛物线上．

将x=-1代入y=-3x2+5x+2，计算得：y=-6≠6，

即可得抛物线y=-3x2+5x+2不经过点B，

二次函数y=-3x2+5x+2不是二次函数y=x2-3x+2和一次函数y=-2x+4的一个“再生二次函数”．

【应用2】

如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BK⊥y轴于点K，过B作BM⊥x轴于点M，

易得AM=3，BM=6，BK=1，△KBC1∽△MBA，

则：

即

求得 C 1K=

所以点C1（0，）．

易知△KBC1≌△GAD1，得AG=1，GD1=，

∴点D1（3，）．

易知△OAD2∽△GAD1，，

由AG=1，OA=2，GD1=，

求得 OD2=1，

∴点D2（0，-1）．

易知△TBC2≌△OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1，

所以点C2（-3，5）．

∵抛物线E总过定点A（2，0）、B（-1，6），

∴符合条件的三点可能是A、B、C或A、B、D

当抛物线E经过A、B、C1时，将C1（0，）代入y=t（x2-3x+2）+（1-t）（-2x+4），求得t1=-；

当抛物线E经过A、B、D1，A、B、C2，A、B、D2时，可分别求得t2=，t3=-，t4=．

∴满足条件的所有t的值为：-；，-，．

考点：二次函数综合题．