Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；

（2）求证：AC²=AD•AB；

（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，根据OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根据切线的判定推出即可；

（2）证△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案；

（3）求出等边三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面积，相减即可得出答案．

试题解析：（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠OCA，

∵∠DAC=∠BAC，

∴∠OCA=∠DAC，

∴OC∥AD，

∵AD⊥EF，

∴OC⊥EF，

∵OC为半径，

∴EF是⊙O的切线．

（2）证明：连接BC，

∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，

∴∠BCA=∠ADC=90°，

∵∠DAC=∠BAC，

∴△ACB∽△ADC，

∴，

∴AC2=AD•AB．

（3）【解析】
∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，

∴∠OCA=60°，

∵OC=OA，

∴△OAC是等边三角形，

∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，

∵在Rt△ACD中，AD=AC=×2=1，

由勾股定理得：DC=，

∴阴影部分的面积是S=S梯形OCDA-S扇形OCA=×（2+1）×-=．

考点：圆的综合题．