Question

如图，为正方形对角线AC上一点，以为圆心，长为半径的⊙与相切于点．

（1）求证：与⊙相切；

（2）若⊙的半径为1，求正方形的边长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

试题分析：（1）过O作ON⊥CD于N，连接OM，由切线的性质可知，OM⊥BC，再由AC是正方形ABCD的对角线可知AC是∠BCD的平分线，由角平分线的性质可知OM=ON，故CD与⊙O相切；

（2）先根据正方形的性质得出△MOC是等腰直角三角形，由勾股定理可求出OC的长，进而可求出AC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求出AB的长．

试题解析：（1）【解析】
过O作于N，连结OM，则．

∵ AC是正方形的对角线，

∴ AC是的平分线．

∴ OM=ON．

即圆心O到CD的距离等于⊙半径，

∴ 与⊙相切．

（2）由（1）易知为等腰直角三角形，OM为半径，

∴ OM=MC=1．

∴ ,

∴ ．

∴

在中，AB=BC,

有

∴

∴ ．

故正方形的边长为

考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.正方形的性质．