Question

（14分）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A(﹣3，0)，B(1.0)，C(0，﹣3)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；

(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=x2+2x﹣3；(2)S有最大值，点P的坐标为（，）；

(3)M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）.

【解析】

试题分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式.

（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论.

（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可.

试题解析：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），

将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=5，解得 a=1.

∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x﹣1），即y=x2+2x﹣3.

（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交AC于点N．

设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得.

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3.

设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），

则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），

∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x.

∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，

∴.

∴当x=时，S有最大值，此时点P的坐标为（，）.

（3）在y轴上是否存在点M，能够使得△ADE是直角三角形。理由如下：

∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4）.

∵A（﹣3，0），∴AD2==20.

设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：

①当A为直角顶点时，如图2，

由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，

即，解得t=.

∴点M的坐标为（0，）.

②当D为直角顶点时，如图3，

由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，

即，解得t=.

∴点M的坐标为（0，）.

③当M为直角顶点时，如图4，

由勾股定理，得，

即，解得t=﹣1或﹣3.

∴点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）.

综上所述，在y轴上存在点M，能够使得△ADE是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，）或（0，﹣1）或（0，﹣3）.

考点：二次函数的综合应用.