Question

（12分）如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，正方形的边长为4， EF⊥DE交BC于点F．

   

（1）求证：△ADE ∽△BEF ；

（2）AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值? 并求出这个最大值;

（3）已知D、C 、F、E四点在同一个圆上，连接CE、DF，若sin∠CEF =，求此圆直径．

Answer

(1)见解析；(2)当x=2时，y值最大，最大为1；(3)此圆直径为5.

【解析】

试题分析：：（1）这两个三角形中，已知的条件有∠A=∠B=90°，那么只要得出另外两组对应角相等即可得出两三角形相似，因为∠DEA+∠FEB=180-90=90°，而∠ADE+∠DEA=90°，因此∠ADE=∠FEB，同理可得出∠BFE=∠AED，那么就构成了两三角形相似的条件；

（2）可用x表示出BE的长，然后根据（1）中三角形ADE和FEB相似可得出关于AD，AE，BE，BF的比例关系式，然后就能得出一个关于x，y的函数关系式．根据函数的性质即可得出y的最大值及相应的x的值．

(3)根据四点共圆，利用三角函数得出圆的直径.

试题解析：(1)证明：∵∠DEF=90°,

∴∠AED+∠BEF=90°,∠AED +∠ADE=90°,

∴∠ADE =∠BEF ,

∵∠A =∠B,

∴△ADE∽△BEF ;

(2)∵△ADE∽△BEF,

∴AD：BE=AE：BF,

∵AE=x,BF =y,AD =4,

∴4：x=(4-x)：y,

∴y=-x2+x,

∴y=-(x-2)2+1,

∴当x=2时，y值最大，最大为1；

∵D、C 、F、E四点共圆，

∴∠CEF=∠CDF，

∴sin∠CEF=sin∠CDF=，

∴DF=5，

即此圆直径为5

考点：正方形的性质；二次函数的最大值.