Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）a=        ，b=        ，顶点C的坐标为         ．

（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer

（1），，C（﹣1，4）；（2）存在，点D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）．

【解析】

试题分析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出顶点坐标即可；

（2）首先证明△CED∽△DOA，得出y轴上存在点D（0，3）或（0，1），即可得出△ACD是以AC为斜边的直角三角形；

（3）首先求出直线CA的解析式为，再利用联立两函数解析式即可得出交点坐标，再利用若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH得出答案即可．

试题解析：（1）将A（﹣3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，，∴，∴，顶点C的坐标为（﹣1，4）；

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E．由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，∴∠3=∠1．又∵∠CED=∠DOA=90°，∴△CED∽△DOA，∴．设D（0，c），则．变形得，解之得，．综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），使△ACD是以AC为斜边的直角三角形；

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH．延长CP交x轴于M，∴AM=CM，∴．设M（m，0），则，∴m=2，即M（2，0）．设直线CM的解析式为，则：，解得：，．∴直线CM的解析式为：．联立，解得：或（舍去）．∴P（，）．

②若点P在对称轴左侧（如图②），只能是△PCQ∽△AHC，得∠PCQ=∠ACH．过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N．由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得．∴AN=2，FN=1，CH=4，HO=1，则AH=2，∴点F坐标为（﹣5，1）．设直线CF的解析式为，则，解得：，．∴直线CF的解析式为：．联立：，解得：或（舍去）．∴P（，）．

∴满足条件的点P坐标为（，）或（，）．

考点：1．二次函数综合题；2．压轴题．