Question

如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer

（1）证明见试题解析；（2）6．

【解析】

试题分析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，从而可得出半径．

试题解析：（1）过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线；

（2）过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9﹣4=5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA=DE，CB=CE，∴DC=AD+BC=4+9=13，在Rt△DFC中，，∴DF=，∴AB=12，∴⊙O的半径R是6．

考点：1．切线的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．勾股定理；4．圆周角定理．