Question

已知：函数（a为常数）．

（1）若该函数图象与坐标轴只有两个交点，求a的值；

（2）若该函数图象是开口向上的抛物线，与x轴相交于点A（，0），B（，0）两点，与y轴相交于点C，且．

①求抛物线的解析式；

②作点A关于y轴的对称点D，连结BC，DC，求sin∠DCB的值．

Answer

（1）或或；（2）①；②．

【解析】

试题分析：（1）根据a取值的不同，有三种情形，需要分类讨论，避免漏解．

（2）①函数与x轴相交于点A（，0），B（，0）两点，则，，满足时，方程的根与系数关系．因为，则可平方，用，表示，则得关于a的方程，可求，并得抛物线解析式；

②已知解析式则可得A，B，C，D坐标，求sin∠DCB，须作垂线构造直角三角形，结论易得．

试题解析：（1）函数（a为常数），

若，则，与坐标轴有两个交点（0，1），（1，0）；

若且图象过原点时，，，有两个交点（0，0），（1，0）；

若且图象与x轴只有一个交点时，令有：△=，解得，有两个交点（0，﹣1），（1，0），

综上得：或或时，函数图象与坐标轴有两个交点；

（2）①∵函数与x轴相交于点A（，0），B（，0）两点，∴，为的两个根，∴，，∵，∴=，解得（函数开口向上，，舍去），或，∴；

②∵函数与x轴相交于点A（，0），B（，0）两点，与y轴相交于点C，且，∴A（1，0），B（3，0），C（0，3），∵D为A关于y轴的对称点，∴D（﹣1，0）．根据题意画图，如图1，过点D作DE⊥CB于E，∵OC=3，OB=3，OC⊥OB，∴△OCB为等腰直角三角形，∴∠CBO=45°，∴△EDB为等腰直角三角形，设DE=x，则EB=x，∵DB=4，∴，∴，即DE=．在Rt△COD中，∵DO=1，CO=3，∴CD=，∴sin∠DCB==．

考点：1．二次函数综合题；2．等腰直角三角形．