Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：

①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正确的结论是 _________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②③④．

【解析】

试题分析：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C，∴△ADE∽△ACD；故①正确，

②作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BG=ABcosB，∴BC=2ABcosB=2×10×=16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，在△ABD与△DCE中，∵∠BAD=∠CDE，∠B=∠C，AB=DC，∴△ABD≌△DCE（ASA）．故②正确，

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8．当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=．AB=10，∴cosB==，∴BD=．故③正确．

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴，∴，整理得：，即，∴．故④正确．

故答案为：①②③④．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质．