Question

（本题满分13分）如图，抛物线（）与x轴相交于两点E、B（E在B的左侧），与y轴相交于点C（0，2），点D的坐标为（-4，0），且AB=AE=2，．

（1）求点A、B、E的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点M，作MN⊥x轴，垂足为N，使得以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似．

Answer

（1）点B、E的坐标为（3,0）（-1,0）；（2）；（3）点M和．

【解析】

试题分析：（1）证明△∽△，然后利用相似三角形的性质求出线段OA、OE、OB的长即可；（2）将点C、B、E的坐标分别代入，然后解方程组即可；（3）假设存在点M的坐标为，N的坐标为适合题意，然后分△∽△或△∽△两种情况讨论即可．

试题解析：【解析】
（1）因为，

所以，．

所以．

所以△∽△．

所以·

又因为点C、D的坐标分别为（0,2），（-4,0）

所以，所以点A的坐标为（1,0）

因为AB= AE=2，所以点B、E的坐标为（3,0）（-1,0）；

（2）因为抛物线经过C、B、E，所以将（0,2）（3,0）（-1,0）代入得：

，解得：，，．

所以抛物线解析式为：．

（3）假设存在点M的坐标为，N的坐标为适合题意，

①若△∽△，因为

则 即

所以，解得或（舍去）

②若△∽△，因为

则 即

所以，解得或（舍去）

综上可知存在点M和得以M、N、O为顶点的三角形与△AOC相似···13分

考点：1．相似三角形的判定与性质；2．待定系数法求函数解析式；3．函数与几何知识的综合．