Question

（本题满分10分） 如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形AB－CD的边AB上的“强相似点”，解决问题：

（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由：

（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；

（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB与BC的数量关系．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）只要证明△ADE∽△BEC，即可证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；（2）以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求；（3）根据题意可得△AEM∽△BCE∽△ECM，然后利用相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE= ∠BCD=30°，利用特殊角的三角函数值可得BE与AB，BC边之间的数量关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．

试题解析：【解析】
（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°，∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135°,∴∠ADE=∠CEB，

在△ADE和△BEC中，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BEC,,∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，

（3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．

由折叠可知：△ECM≌△DCM，∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，∴∠BCE=∠BCD=30°，BE=CE＝AB，

在Rt△BCE中，tan∠BCE==tan30°=，∴．

考点：1．相似三角形的判定与性质；2． 图形折叠的性质；3． 特殊角的三角函数值．