Question

在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的两个交点分别为A（-3，0)，B

（1，0)，过顶点C作CH⊥x轴于点H．

（1）a=        ，b=        ，顶点C的坐标为         ．

（2）在轴上是否存在点D，使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标．

Answer

（1）a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）；

（2）存在，点D（0，3）或（0，1）；

（3）点P坐标为或.

【解析】

试题分析：（1）将A（-3，0)，B（1，0)代入函数解析式，可求出a=-1，b=-2，然后将函数关系式配方可得顶点C的坐标；（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E，然后证明△CED∽△DOA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出线段OD的长，即可得点D的坐标；（3）分情况讨论：①若点P在对称轴右侧时，只能是△PCQ∽△CAH，延长CP交x轴于M，求得点M的坐标，则点P是直线CM与抛物线的交点；若点P在对称轴左侧时，只能是△PCQ∽△ACH，过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N，求出点F的坐标，则直线CM与抛物线的交点即为点P.

试题解析：【解析】
（1）a=-1，b=-2，顶点C的坐标为（-1，4）； 3分

（2）假设在y轴上存在满足条件的点D，过点C作CE⊥y轴于点E，

由∠CDA=90°得，∠1+∠2=90°，

又∠2+∠3=90°，

∴∠3=∠1，

又∵∠CED=∠DOA=90°，

∴△CED∽△DOA，

∴，

设D（0，c），则，

变形得，解之得，

综合上述：在y轴上存在点D（0，3）或（0，1），

使△ACD是以AC为斜边的直角三角形； ..8分

（3）①若点P在对称轴右侧（如图①），

只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH，

延长CP交x轴于M，

∴AM=CM，

∴AM2=CM2，

设M（m，0），则（m+3）2=42+（m+1）2，

∴m=2，即M（2，0），

设直线CM的解析式为y=k1x+b1，则，解之得，

∴直线CM的解析式，

联立，解之得或（舍去），

∴，

②若点P在对称轴左侧（如图②），

只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

过A作CA的垂线交PC于点F，作FN⊥x轴于点N，

由△CFA∽△CAH得，

由△FNA∽△AHC得，

∴，点F坐标为（-5，1），

设直线CF的解析式为y=k2x+b2，则，解之得，

∴直线CF的解析式，

联立，解之得或（舍去），

∴，

∴满足条件的点P坐标为或 14分

（其他办法也得分）

考点：1.待定系数法求解析式；2.相似三角形的判定与性质；3.直线与抛物线的交点坐标.