Question

如图，AB是⊙O的直径，AM、BN分别切⊙O于点A、B，CD交AM，BN于点D、C，DO平分∠ADC．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R．

Answer

（1）见解析；（2）过点D作DF⊥BC于点F，将梯形ABCD分割成一个矩形和一个直角三角形，得出FC=9﹣4=5，根据切线长定理得DC=AD+BC=4+9=13，然后在直角三角形DCF中用勾股定理求出DF的长，可解.

【解析】

试题分析：（1）过点O作OE⊥DC于E，然后利用角平分线的性质证明OE=OA即可；（2）

试题解析：（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，

∵AM切⊙O于点A，

∴OA⊥AD，

又∵DO平分∠ADC，

∴OE=OA，

∵OA为⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线． 3分

（2）【解析】
过点D作DF⊥BC于点F，

∴AM，BN分别切⊙O于点A，B，

∴AB⊥AD，AB⊥BC，

∴四边形ABFD是矩形，

∴AD=BF，AB=DF，

又∵AD=4，BC=9，

∴FC=9﹣4=5，

∴AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，

∴DA=DE，CB=CE，

∴DC=AD+BC=4+9=13， 6分

在RT△DFC中， DC2=DF2+FC2，

∴DF==12，

∴AB=12，

∴⊙O的半径R是6． 8分

考点：1.切线的判定；2.矩形的性质；3．切线长定理；4.勾股定理.