Question

如图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图2，晾衣架伸缩时，点G在射线DP上滑动，∠CED的大小也随之发生变化，已知每个菱形边长均等于20cm，且AH=DE=EG=20cm．

（1）当∠CED=60°时，求C、D两点间的距离；

（2）当∠CED由60°变为120°时，点A向左移动了多少cm？（结果精确到0.1cm）

（3）设DG=xcm，当∠CED的变化范围为60°～120°（包括端点值）时，求x的取值范围．（结果精确到0.1cm）（参考数据≈1.732）

Answer

（1）20cm；（2）43.9cm；（3）20cm≤x≤34.6cm．

【解析】

试题分析：（1）连接CD．可证△CED是等边三角形，所以CD=DE=20cm；（2）当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm，当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H，然后利用特殊角的三角函数可求AD=3×20=60≈103.9（cm），103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动的距离；（3）当∠CED=120°时，DG=DE=20cm，当∠CED=60°时，过点E作EI⊥DG于点I，然后利用直角三角形可求DG=2DI=20≈34.6cm．所以20cm≤x≤34.6cm．

试题解析：【解析】
（1）连接CD．

∵CE=DE，∠CED=60°，∴△CED是等边三角形，∴CD=DE=20cm； 2分

（2）根据题意得：AB=BC=CD，当∠CED=60°时，AD=3CD=60cm， 4分

当∠CED=120°时，过点E作EH⊥CD于H（图2），则∠CEH=60°，CH=HD．

在直角△CHE中，sin∠CEH=，∴CH=20•sin60°=20×=10（cm），

∴CD=20cm，∴AD=3×20=60≈103.9（cm）．

∴103.9﹣60=43.9（cm）．即点A向左移动了43.9cm； 7分

（3）当∠CED=120°时，∠DEG=60°，∵DE=EG，∴△DEG是等边三角形．

∴DG=DE=20cm， 8分

当∠CED=60°时，则有∠DEG=120°，过点E作EI⊥DG于点I．

∵DE=EG，∴∠DEI=∠GEI=60°，DI=IG，在直角△DIE中，sin∠DEI=，

∴DI=DE•sin∠DEI=20×sin60°=20×=10cm．∴DG=2DI=20≈34.6cm．

则x的范围是：20cm≤x≤34.6cm． 12分

考点：1.等边三角形的判定与性质；2.解直角三角形的应用.