Question

如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠1=∠2．

（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．

Answer

（1）见解析；（2）AG=6．

【解析】

试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠2+∠ODC=90°，根据OC=OD可得∠C=∠ODC，结合条件OC⊥AB，利用互余的关系可证∠1=∠2；（2）根据条件OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，可得OF=1，由（1）可得EF=ED，设DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理可得x=4，然后利用Rt△EOD∽Rt△EGA，可求出AG=6．

试题解析：（1）证明：连接OD，∵DE为⊙O的切线，

∴OD⊥DE，∴∠ODE=90°，即∠2+∠ODC=90°，∵OC=OD，

∴∠C=∠ODC，∴∠2+∠C=90°，而OC⊥OB，∴∠C+∠3=90°，

∴∠2=∠3，∵∠1=∠3，∴∠1=∠2； 4分

（2）【解析】
∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1，∵∠1=∠2，∴EF=ED，

在Rt△ODE中，OD=3，DE=x，则EF=x，OE=1+x，

∵OD2+DE2=OE2，∴32+x2=（x+1）2，解得x=4， 7分

∴DE=4，OE=5，∵AG为⊙O的切线， ∴AG⊥AE，∴∠GAE=90°，

而∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA，

∴=，即=，∴AG=6． 10分

考点：1.切线的性质；2.互余；3.勾股定理；4.相似三角形的判定与性质.