Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=．下列结论：

①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；

③△DCE为直角三角形时，BD为8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正确的结论是 _________ ．（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer

①②③④

【解析】

试题分析：因为AB=AC，∠ADE=∠B=α，所以∠ADE=∠B=∠C=α，又因为∠DAE=∠DAE，所以△ADE∽△ACD，所以①正确；过点A作AFBC，垂足为F，因为AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=，所以BF=CF=8，所以BC=16，因为BD=6，所以DC=10，所以AB=DC，又因为∠ADE+∠DEC =∠B+∠BAD,所以∠DEC =∠BAD,在△ABD与△DCE中，∠DEC =∠BAD，AB=DC，∠B=∠C，所以△ABD≌△DCE（ASA）．所以②正确；当△DCE为直角三角形时，分两种情况，当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，所以∠ADC=∠AED，因为∠AED=90°，所以∠ADC=90°，即AD⊥BC，因为AB=AC，所以BD=CD，所以∠ADE=∠B=α且cosα=．AB=10，BD=8；当∠CDE=90°时，易得△CDE∽△BAD，因为∠CDE=90°，所以∠BADF=90°，因为∠B=α且cosα=．AB=10，所以cos∠B=，所以BD=．所以③正确；易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，所以，所以，整理得：，即，所以所以④正确．所以①②③④都正确.

考点：1.等腰三角形的性质；2.相似三角形的判定与性质；3.全等三角形的判定与性质.