Question

（14分）如图一条抛物线（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.

（1）“抛物线三角形”一定是_______________三角形；（2分）

（2）若抛物线y=－x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（6分）

（3）如图，△OAB是抛物线y=－x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．（6分）

Answer

（1）等腰；（2）b=2；（3）y=x²+2x.

【解析】

试题分析：（1）根据抛物线的性质可得三角形为等腰三角形；（2）首先根据y=0求出点B的坐标，然后根据等腰三角形的性质求出b的值；（3）首先作△OCD和△OAB成中心对称图形，根据矩形的性质求出OE和OA的长度，然后根据三角形的性质求出b′的值，根据b′的值求出点C、D的坐标，最后利用待定系数法求出函数解析式.

试题解析：（1）等腰

（2）当y=0时，－x²+bx=0 解得：=0，=b ∴B（b,0），即：OB=b

∵抛物线y=－x²+bx的顶点A的坐标为（，）， 且“抛物线三角形”是等腰直角三角形

∴= 解得：=0（舍去），=2 ∴b的值为2

（3）存在，

如图，作△OCD与△OAB关于原点O成中心对称，

则四边形ABCD是平行四边形，当OA=OB时，四边形ABCD为矩形

∵OA=OB，OA=AB ∴△OAB是等边三角形 过点A作AE⊥OB于E，则∠OAE=30°，OE=

∴OA= ∵顶点A（，）， ∴=

解得：=0（舍去），=2 ∴A（，3），B（2，0）

∴C（－，－3），D（－2，0）

设过C、D、O的解析式为y=ax²+mx（a≠0），则 解得：

∴所求抛物线的解析式为y=x²+2x.

考点：抛物线的性质.