Question

（12分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．

（1）求证：PD是⊙O的切线；（6分）

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．（6分）

Answer

（1）见解析；（2）2

【解析】

试题分析：（1）根据AB=AC得到∠B=∠C，根据OP=OB得出∠B=∠OPB，从而说明∠C=∠OPB，可以得出OP∥AC，根据PD⊥AC得出∠OPD=90°，即为切线；（2）连接AP，根据直径得出∠APB=90°，根据∠BAC的度数求出∠C和∠B的度数，根据Rt△APB求出AP和BP的长度，然后得出BC的长度.

试题解析：（1）连接OP.

∵AB=AC ∴∠C=∠B ∵OP=OB ∴∠OPB=∠B ∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC ∴∠OPD=∠PDC ∵PD⊥AC于点D ∴∠PDC=90° ∴∠OPD=90°，即：OP⊥PD

∵OP为⊙O半径 ∴PD是⊙O切线

（2）连接AP. ∵AB为⊙O直径 ∴∠APB=90°,即：AP⊥BC

∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=∠B=30°,BP=PC=BC

∵在Rt△APB中，∠B=30° ∴AP=AB=1

∴BP= ∴BC=2BP=2

考点：切线的判定、勾股定理的应用.