Question

（本题12分）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）求证：OE=OF；

（2）若CE=8，CF=6，求OC的长；

（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

Answer

（1）见解析；（2）6.5；（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质可得∠2=∠5，∠4=∠6，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠3=∠6，从而可以说明∠1=∠2，∠3=∠4，从而得到结论；（2）根据角平分线的性质得出∠ECF=90°，根据勾股定理求出EF的长度，然后根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CO的长度；（3）当O为AC的中点时，则AO=CO，EO=FO说明四边形AECF是平行四边形，根据∠ECF=90°得出四边形AECF为矩形.

试题解析：（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，

∴∠2=∠5，4=∠6，∵MN∥BC，∴∠1=∠5，3=∠6，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF；

（2）∵∠2=∠5，∠4=∠6，∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5，∴EF==13，

∴OC=EF=6.5；

（3）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．

证明：当O为AC的中点时，AO=CO，∵EO=FO，∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠ECF=90°，∴平行四边形AECF是矩形

考点：角平分线的性质、平行四边形的性质、矩形的判定.