Question

已知在矩形中，是边上的一动点，联结、，过点作射线交线段的延长线于点，交边于点，且使得，如果，，，；

（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

（2）当时，求的正切值；

（3）如果△是以为底角的等腰三角形，求的长；

Answer

（1）（）； （2）； （3）；

【解析】

试题分析：(1)根据条件证明△ABM∽△ABP ，根据对应边成比例得，代入数值即可； (2) 过点M作MF⊥BP, 利用△BPM的面积可求出MF的长，利用勾股定理可得PF,BF的长，从而可求的正切值；(3)分∠EBC=∠ECB 或∠EBC=∠E两种情况讨论.

试题解析：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC,∴∠APB=∠PBC, ∵∠ABM=∠PBC,∴∠ABM=∠ABP且∠A=∠A, ∴△ABM∽△ABP,∴，代入数值可得所以， （）

（2）过点M作MF⊥BP,∵AP=4，∴MP=3，AM=1，∵AB=2，AP=4,∴BP=,BM=,∴,∴ ∵PM2=MF2+PF2∴,∴BF= , ∴tan∠EBP= ;

（3）∵△BCE为等腰三角形∴∠EBC=∠ECB 或∠EBC=∠E

当∠EBC=∠ECB ∴∠ABM=∠DCP 且∠A=∠D，AB=CD∴△ABM≌△PDC∴AM=PD =x-y，∵AD=AP+PD∴x+ x-y =5，∴ x2+4x-5=0，解得，∵∴都不合题意；

当∠EBC=∠E，∴BC=CE=5，∵AD∥BC，∴∠EMP=∠EBC=∠E，∴MP=EP=y，∴PC=5-y，PD=5-x， 在RT△PCD 中根据勾股定理得：（5-y）2=4+（5-x）2，∴（不合题意），

∴AP=

考点：1.矩形的性质； 2. 相似三角形的判定与性质；3.等腰三角形的判定；4.全等三角形的判定与性质；5.勾股定理.