Question

如图，已知平面直角坐标系中，⊙O的圆心在坐标原点，直线l与轴相交于点P，与⊙O相交于A、B两点，∠AOB=90°.点A和点B的横坐标是方程x²-x-k=0 的两根，且两根之差为3.

（1）求方程x²-x-k=0 的两根；

（2）求A、B两点的坐标及⊙O的半径；

（3）把直线l绕点P旋转，使直线l与⊙O相切，求直线l的解析式.

Answer

（1）2和－1 （2）A(-1,2)，B(2,1) （3）

【解析】

试题分析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1>x2)，由根与系数的关系可得x1+x2=1，由两根之差为3，可点x1-x2=3，解方程组即可得方程的根；

过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，通过△AOC≌△OBD得到A点坐标，利用勾股定理得OA的长；

由A、B在坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，从而得到点P的坐标，过点P的直线与圆相切，有两种情况，因此分切点在第一象限与第四象限两种情况求切线的解析式.

试题解析：（1）设方程的两根分别为x1，x2（x1>x2)，由已知得，解得，∴方程的两根分别为2和－1；

（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，易证：△AOC≌△OBD，∴BD=OC=1，AC=OD=2

∴A(-1,2)，B(2,1) ,∴OA=

（3）设直线AB的解析式为y=k1x+b1，则，解得，∴y=，当y=0时，=0，解得x=5，∴P(5,0)；

当直线l与⊙O的切点在第一象限时，设直线l与⊙O相切于点E，过点E作EF⊥x轴于点F,∵PE是⊙O的切线，∴OE⊥PE,∴PE=,∵S△POE=OP·EF=OE·PE,∴5EF=，∴EF=2,∴OF==1，E(1,2)；

设直线l的解析式为y=k2x+b2，则，解得，∴y= -；

当直线l与⊙O的切点在第四象限时，同理可求得y=.

考点：1、根与系数的关系；2、三角形全等的判定与性质；3、待定系数法；4、圆的切线.