Question

（本题满分14分 ，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）

如图，已知在等腰 Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边AB＝2，若将△ABC翻折，折痕EF分别交边AC、边BC于点E和点F（点E不与A点重合，点F不与B点重合），且点C落在AB边上，记作点D．过点D作DK⊥AB，交射线AC于点K，设AD＝x，y＝cot∠CFE，

（1）求证：△DEK∽△DFB；

（2）求y关于x的函数解析式并写出定义域；

（3）联结CD，当＝时，求x的值

Answer

(1)(2) ()

(3)

【解析】

试题分析：（1）根据互余的关系可证，利用等腰直角三角形的性质可得从而可证△DEK∽△DFB；（2）因为AD＝x，所以DK=x,BD=2-x, 根据折叠可得Rt△DEF中，∠DFE=∠CFE，所以y＝cot∠CFE= cot∠DFE= ,由△DEK∽△DFB可得，所以 ()；（3）设CD交EF于点p,EF的中点为Q,连结CQ,根据题意可得且PC=CD,

CQ=EF,根据＝可得,所以60°，从而∠CFE=∠DFE=30°，所以y=，所以=，然后解方程即可.

试题解析：（1）根据题意可得∠EDK+∠KDF=90°，∠BDK+∠KDF=90°，所以 ，又因为△ABC是等腰直角三角形，所以所以△DEK∽△DFB；（2）因为AD＝x，所以DK=x,BD=2-x, 根据折叠可得Rt△DEF中，∠DFE=∠CFE，所以y＝cot∠CFE= cot∠DFE= ,由△DEK∽△DFB可得，所以 ()；（3）设CD交EF于点p,EF的中点为Q,连结CQ,由折叠可得且PC=CD,又△CEF是直角三角形，所以CQ=EF,又因为＝，所以在Rt△PCQ中有,所以60°，所以∠CFE=∠FCQ=30°，所以∠CFE=∠DFE=30°，所以y=，所以=，解得.

考点：1. 等腰直角三角形的性质；2.相似三角形的判定与性质；3. 直角三角形的性质；4.图形折叠的性质；5.特殊角的三角函数值；6.函数知识与几何知识的综合.