Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°.

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

Answer

（1）∠ABC=60°；

（2）证明见解析；

（3）π.

【解析】

试题分析：（1）∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，可得∠ABC=∠D=60°；

由AB是直径，可得∠ACB=90°，从而可得∠BAC=30°，由∠EAC=60°，可得∠EABC=90°，即AE是切线；

连接BC，由已知条件可知△BOC是等边三角形，从而可得弧AC所对圆心角的度数，利用弧长公式即可得劣弧AC的长.

试题解析：（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠BAC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即BA⊥AE，

∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∴OB=OC，∠ABC=60°，

∴△OBC是等边三角形，∵OB=BC=4，∠BOC=60°，

∴∠AOC=120°，

∴劣弧AC的长为=π．

考点：1、圆周角定理；2、切线的判定；3、弧长公式.