Question

（本题满分12分）

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）BE=2；

（2）存在满足条件的t，

【解析】

试题分析：（1）由于四边形BEFG为正方形，所以得GF∥BE，从而得△AGF∽△ABC，由相似比即可得正方形的边长，即BE长；

由已知条件可得△MEC∽△ABC，从而得ME的长，利用勾股定理分别求得△B′DM在三边长，然后分情况讨论即可.

试题解析：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，

∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；

（2）存在满足条件的t，当t为或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；

理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，

在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，

在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，

过点M作MN⊥DH于N，

则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，

∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，

在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，

（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，

即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），

解得：t=，

（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，

即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），

解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），

∴t=﹣3+；

（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，

即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），

此方程无解，

综上所述，当t为或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；

考点：1、正方形的性质；2、相似三角形的判定与性质；3、勾股定理；4、分类思想.