Question

（本题满分8分）

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为点D，且∠BAC=∠DAC.

（1）猜想直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由，

（2）若CD＝6，cos∠ACD＝，求⊙O的半径．

Answer

（1）MN与⊙O相切，理由见解析；

（2）⊙O的半径为.

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA=OC，可得∠BAC=∠OCA，再由∠BAC=∠DAC，得∠OCA=∠DAC，从而AD∥OC， 由AD⊥MN，可得OC⊥MN，即MN与⊙O相切；

（2）由CD＝6，cos∠ACD＝，可得AC=10，又由∠ACB=∠ADC，∠BAC=∠DAC，可得△ABC∽△ACD，利用相似比即可得AB的长，从而得半径长.

试题解析：（1）MN与⊙O相切，

理由：连接OC， ∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BAC=∠DAC，∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥OC， ∵AD⊥MN， ∴OC⊥MN，∵OC为⊙O的半径， ∴MN与⊙O相切；

（2）∵AD⊥MN， ∴∠ADC=90°，∴AC==6÷=10，∴AD==8，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ADC， ∵∠BAC=∠DAC， ∴△ABC∽△ACD， ∴，

∴AB===，∴⊙O的半径为.

考点：1、切线的判定与性质；2、三角函数的应用；3、相似三角形的判定与性质.