Question

（本题满分10分）如图，二次函数y＝－x₂＋nx＋n²－9（n为常数）的图像经过坐标原点和x轴上另一点A，顶点在第一象限．

(1)求n的值和点A坐标；

(2)已知一次函数y＝－2x＋b(b >0)分别交x轴、y轴于M、N两点．点P是二次函数图像的y轴右侧部分上的一个动点，若PN⊥NM于N点，且△PMN与△OMN相似，求点P坐标．

Answer

(1)、A(3,0)；(2)、P(，)和P(2,2)

【解析】

试题分析：(1)、将点(0,0)代入求出n的值，从而得到函数解析式，得出点A的坐标；(2)、首先求出M和N的坐标，然后分两种情况进行讨论得到答案.

试题解析：(1)、∵图像经过坐标原点 ∴－9=0 ∴n=3或－3

∵顶点在第一象限 ∴n=3 ∴y=－+3x ∴点A的坐标为(3,0)

、过P作PB⊥y轴于B，设P(x，－+3x) ∵PN⊥MN ∠NOM=90° ∴要使△PMN与△OMN相似

则分两种情况：①、△PMN∽△MNO ②、△PMN∽△NMO

∵一次函数y=－2x+b分别交x轴、y轴于点M、N

∴OM= ON=b ∴

①、当△PMN∽△MNO(如图1)，得 ∵PN⊥NM，PB⊥y轴

∴△PNB∽△MNO ∴

∴x=，x=0(舍去) ∴点P的坐标为(，)

②、当△PMN∽△NMO时(如图2)，得： 解法同上，得x=2，x=0(舍去)

∴点P的坐标为(2,2)

综上所述：满足条件的点有2个：P(，)和P(2,2).

考点：三角形相似的应用、求二次函数解析式.