Question

（本题满分9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙C经过点O，交x轴的正半轴于点B (2，0)，P是上的一个动点，且∠OPB＝30°.设P点坐标为(m，n)．

(1)当n＝2，求m的值；

(2)设图中阴影部分的面积为S，求S与n之间的函数关系式，并求S的最大值；

(3)试探索动点P在运动过程中，是否存在整点P(m，n)（横、纵坐标都为整数的点叫整点）?若存在，请求出；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)、m=0或2；(2)、S=n+，最大值为：2+；(3)、不存在.

【解析】

试题分析：(1)、根据角度的关系得出△OCB为等边三角形，从而求出OD和CD的长度，然后根据圆的轴对称性求出m的值；(2)、阴影部分的面积等于三角形的面积加上扇弧的面积；(3)、根据题意求出m的值，然后分别计算出n的值，看是否有符合条件的.

试题解析：

(1)、过点C作CD⊥OB

∵∠OPB=30° ∴∠OCB=60° ∴△OCB为等边三角形 ∴OC=OB=2

∴OD=1，CD= ∴当n=2时，根据圆的对称性 得m=0或2.

、S=×2n+(－)=n+－

∴当n=2+时，S最大值为2+.

、动点P在运动过程中，不存在整点.

∵－1≤m≤3，横坐标可取整数为－1,0,1,2,3

当m=－1,3时，n= 当m=0,2时，n=2 当m=1时，n=2+

以上对应的纵坐标n均不是整数 ∴动点P在弧OwB运动过程中，不存在整点.

考点：圆的基本性质.