Question

在平面直角坐标系中，Rt△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为(－3，1).(1)、求点B的坐标；(2)、求过A、O、B三点的抛物线的解析式；(3)、设点P为抛物线上到X轴的距离为1的点，点B关于抛物线的对称轴的对称点为， 求点P的坐标和的面积．

Answer

(1)、B(1,3)；(2)、y=+；(3)、、、、

【解析】

试题分析：(1)、分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，证明△ACO和△BOD全等从而求出点B的坐标；(2)、利用待定系数法求出函数解析式；(3)、首先求出对称轴方程，然后根据对称的性质求出点的坐标，设出点P的坐标为(k，1)和(k，－1)，将P点坐标代入函数解析式求出k的值，然后计算三角形的面积.

试题解析：(1)、作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D．

则∠ACO=∠ODB=90°， ∴∠AOC+∠OAC=90°． 又∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°

∴∠OAC=∠BOD 又∵AO=BO ∴△ACO≌△ODB ∴OD=AC=1 DB=OC=3 ∴点B的坐标为(1,3).

(2)、因为抛物线过原点，故可设所求抛物线的解析式为：．将两点代入，得

解得． 故所求抛物线的解析式为．

(3)、在抛物线中，对称轴的方程是．

是关于抛物线的对称轴的对称点，故坐标，

由题意，设抛物线上到轴的距离为1的点为或，则

或即：或

解得

即抛物线上到轴的距离为1的点为：、、、.

在中，底边，高的长为2，故,

同理，

考点：二次函数的性质.