Question

如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD分别与AE、AF相交于G、H．

（1）在图中找出与△ABE相似的三角形，并说明理由；

（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer

（1）△ABE∽△ADF．（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：(1)由平行四边形ABCD知：∠ABE=∠ADF;由AE⊥BC，AF⊥CD得：∠AEB=∠AFD.从而△ABE∽△ADF；

（2）由（1）得∠BAG=∠DAH.因为AG=AH，得∠AGH=∠AHG.所以∠ABG=∠ADH.故AB=AD; 又四边形ABCD是平行四边形，从而得证.

试题解析：（1）△ABE∽△ADF．

理由如下：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，

∴∠AEB=∠AFD=90°．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABE=∠ADF．

∴△ABE∽△ADF．

（2）证明: ∵AG=AH，

∴∠AGH=∠AHG．

∴∠AGB=∠AHD．

∵△ABE∽△ADF，

∴∠BAG=∠DAH．

∴∠BAG≌∠DAH．

∴AB=AD

∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD

∴平行四边形ABCD是菱形．

考点：1.相似三角形的判定与性质，2. 菱形的判定.